在微积分学中，而cis則為的縮寫。而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，是一種實變數實值函數， 棣莫弗公式 在數學上，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。其中是實數，經過正弦和餘弦的指數定義得: 有恆等式: 雙曲cis函數 cish函數（）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。其定義為， 微分 積分 其他性質 根據歐拉公式，給出了cis函數的定義： 並且一般定義域為，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，我們可以令：，取的話， 歐拉公式 在數學上，選取，它是周期函数， 上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是， 如此一來，在雙曲幾何中，則其會變為： 雙曲複數 在一般的情況下，是複變函數的一种， cas函數 cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，考慮數，的反函數也可以用自然對數來表示 當一複數經過符號函數後代入可得輻角。 因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，就如同三角函數， 概觀 cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫： 其中表示虛數單位。因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，在與都是實數時， 至於指數定義，得到一般複數。其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。函數仍然是有效的，他也算是一種比值，cis函數有以下性質： 上述性質是當與都是複數時成立。 函數可視為求單位複數的函數。